Problemas Resueltos aplicando la ley de los Cosenos

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

Solución:
Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

b

2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B

x

2 = 6 2 + 10 2 − 2 ( 6 ) 10 cos 45°

x

2 = 36 + 100 − 120 2 2

x

2 = 136 − 602

x

2 ≈ 51.15

x

≈ 7.15

En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x

Solución:
Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

c

2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C

x

2 = 10 2 + 6 2 − 2 ( 10 ) ( 6 ) cos 120°

x

2 = 100 + 36 − 120 − 1 2

x

2 = 100 + 36 − 120 − 1 2

x

2 = 100 + 36 + 60

x

2 = 196

x

= 14

Problemas Resueltos Aplicando la ley de los Senos

Encuentra la medida del lado b para el triángulo ABC según demostrado en la siguiente figura:

Estrategia para resolver el ejercicio:

Determina los datos:

a=10m

A=30°

B =40°

b = ?

Utiliza la siguiente ecuación:

Despeja para la desconocida:

Reemplaza los valores conocidos en la ley del seno

Usa una calculadora o una tabla trigonométrica para ir desde el seno de A hasta obtener la medida del ángulo A segúndemostrado:

La respuesta es: el ángulo obtenido es b=13m

en un triangulo ABC, hallar el lado a si se sabe que:
b=10m, c=9m y < B = 30
aplicamos la ley de senos:
b/senB = c/senC, reemlazamos datos:
10/sen30 = 9/senC , senC=9/20 luego C=26.74°
SABEMOS QUE: A+B+C = 180° , reemplazamos valores
A+30+26.74 = 180 , A =123.26°
aplicamos ahora nuevamente la ley de senos para hallar lo que nos piden, seria:
a/senA = b/senB , reemplazamos valores:
a/sen123.26 = 10/sen30

, a= 16.72m

Ley de los Senos y Cosenos para resolver triangulos Oblicuos

Triángulos oblicuángulos

Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno.

Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:

1º. Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido

De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones

Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:

1. sen B > 1. No hay solución.

Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.